Phänomen Würfelschlange – Die Auflösung

Na, haben Sie intensiv gerätselt? Vor den Ferien hatten wir Ihnen das Phänomen der Würfelschlange vorgestellt und sie zum Miträtseln aufgefordert. Heute folgt die Auflösung, die der Grundkurs Mathematik unserer MSS3 im Mathematik-Unterricht bei Frau Kern und Herrn Deinert erarbeitet haben.

Zur Erinnerung erläutert Anne, wie das Experiment im Unterricht ablief:
Cornelius hatte sich vor den Ferien bereit erklärt, das Würfelexperiment durchzuführen. Alle 40 Würfel wurden nach dem Würfeln in zufälliger Reihenfolge zu einer Würfelschlange zusammengeschoben. Die Augenzahl des ersten Würfels bestimmt die Anzahl an Schritten, mit denen sich zu einem weiteren Würfel bewegt wird und so weiter. Überschüssige Würfel, die durch eine zu hohe Zahl nicht mehr erreichbar sind, werden nach dem ersten Durchgang weggenommen und beim zweiten Versuch, nach erneutem Würfeln lediglich des ersten Würfels, kommt man schlussendlich fast immer auf dem letzten Würfel des ersten Versuchs raus.

Johannes erklärt Ihnen nun, wie dieses Phänomen mathematisch zu erklären ist:
Warum ist das so? Die Würfel haben sechs Seiten mit jeweils den Augenzahlen von 1 bis 6. Mal würfelt man eine 1, mal eine 3, mal eine 6 usw. Im Mittel erzielt man den Wert 3,5 ((1+2+3+4+5+6): 6). Dies hat zur Folge, dass man ungefähr 11 Sprünge braucht, um die 40 Würfel zu durchlaufen (40:3,5 = 11,4).
Überlegen wir weiter. Sobald man beim zweiten Durchlauf auf einen Würfel kommt, den man auch beim ersten Durchlauf getroffen hat, ist man auf dem Pfad des ersten Durchlaufs und kommt am Ende zwangsläufig bei dem Würfel an, bei dem man auch im ersten Durchlauf zum Schluss angekommen ist. Ist man auf einem anderen Würfel als beim ersten Durchlauf gelandet, kommt man beim nächsten Sprung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 1/6 auf einen Würfel, den man schon im ersten Durchlauf getroffen hat. Denn im ersten Durchlauf kann man ja maximal 6 Schritte weiter gelangt sein, sodass mindestens  einer der folgenden 6 Würfel mit Sicherheit zum ersten Durchlauf gehört.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5/6 trifft man keinen dieser Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, im gesamten Durchlauf auf keinen Würfel des ersten Durchlaufs zu kommen, beträgt dann höchstens 5/6 potenziert mit den 11 Sprüngen, die man im Durchschnitt pro Durchlauf braucht. Die Wahrscheinlichkeit beträgt damit 5/6 ¹¹ = 0,1345879 oder 13,5 %. Das heißt nun wieder, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 86,5 % während eines Durchlaufs auf einen Würfel kommt, den man auch im ersten Durchlauf getroffen hat und damit auch zwangsläufig den Durchlauf auf dem Würfel beendet, auf den man ihn auch im ersten Durchlauf beendet hat. Im Ergebnis bedeutet dies, dass man mit einer recht hohen Wahrscheinlichkeit immer wieder am Ende auf demselben Würfel landet wie im ersten Durchlauf.